【Python讲优化】S06E01 导数与微分基础

1.函数的连续性

1.1.函数在单点处的连续性

从这一讲开始,我们正式进入到微积分的部分中来。我们首先从函数的连续性开始讨论,然后逐步过渡到切线和导数的概念。

函数$f(x)$在具体的取值点$c$点是否连续,我们针对性的来看下面三幅图中的具体情形:
图1.讨论函数的连续性

图1.讨论函数的连续性

在这幅图中,我们发现在点$c$处,函数的左极限和右极限不相等,即$lim_{x\rightarrow c^{-}}f(x) \neq lim_{x\rightarrow c^{+}}f(x)$,因此$lim_{x\rightarrow c}f(x)$不存在,$c$点处函数的极限不存在,因此函数$f(x)$在点$c$处不连续。

图2.讨论函数的连续性

图2.讨论函数的连续性

这幅图中情况似乎要稍微好点儿,我们发现$lim_{x\rightarrow c^{-}}f(x)=lim_{x\rightarrow c^{+}}f(x)$,函数$f(x)$在$c$点处的极限是存在的,但是从图中可以看出,函数的极限值和$c$点处函数的实际取值不相等,即:$lim_{x\rightarrow c}f(x) \neq f(c)$,因此函数$f(x)$在点$c$处仍然不连续。
图3.讨论函数的连续性

图3.讨论函数的连续性

这幅图中以上出现的两个问题都不存在了,我们看到:一方面函数$f(x)$的极限是存在的,而另一方面$lim_{x\rightarrow c}f(x)=f(c)$,点$c$处的极限和函数的取值又是相等的,因此在这幅图中,函数$f(x)$在点$c$处是连续的。

那么,依照严格的定义,对于一个定义在包含点$c$的区间上的函数$f(x)$,如果$lim_{x\rightarrow c}f(x)=f(c)$成立,则称函数$f$在点$c$处连续。

1.2.函数在区间上的连续性

进一步扩展到区间上,如果函数$f(x)$在开区间上的任意一点连续,那么这个函数$f(x)$就在整个这个开区间上连续。

如果谈到闭区间$[a,b]$上的连续性问题,那么就需要着重单独讨论区间的左右两个端点:我们首先从右侧逼近左侧端点$a$,如果$lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x) =f(a)$成立,则称函数$f(x)$在端点$a$上右连续,我们再从左侧逼近右侧端点$b$,即$lim_{x\rightarrow b^{-}}f(x) =f(b)$成立,则称函数$f(x)$在端点$b$上右连续。

那么,如果函数在开区间$(a,b)$上连续,且在左侧端点$a$上右连续,在右侧端点$b$上左连续,此时此刻,我们就能够说函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上是连续的。

2.关于切线

切线是一个大家都非常熟悉的概念,什么是切线?有一种说法是一条曲线的切线只与这条曲线有一个交点。这个概念有很大的局限性,他只对圆环类的曲线有效,而对例如下面的这条曲线,描述显然就不适用了:
图4.普通曲线的切线

图4.普通曲线的切线

实际上,在上面这幅图中,直线显然是曲线在$P$点处的切线,但是更明显的是,这条直线与曲线的交点数不止一个。那么我们应该怎样更准确的描述切线呢?这里就要用到极限的概念:

我们还是看曲线上$P$点的切线:我们假定$Q$点为曲线上一个接近$P$点的可动点,经过$P$点和$Q$点的直线叫做割线,在$P$点的切线就是当$Q$点沿曲线向$P$点移动时,割线的极限位置,如下图所示:

图5.割线的极限位置:切线

图5.割线的极限位置:切线

因此,结合上面这幅图,我们来总结一下切线的严格定义:

已知的任意一条曲线$y=f(x)$在点$P(c,f(c))$处的切线就是穿过该点$P$的一条直线,且这条直线的斜率为$lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(c+h)-f(c)}{h}$。当然,这里有个前提条件,那就是表示斜率的这个极限存在且不为$\infty$或$-\infty$。

3.导数的介绍

3.1.从切线到导数

切线的概念很简单,我们也非常熟悉,这里我们不做过多的停留。下面我们进入到导数概念的介绍,导数的定义和斜率其实看上去很像:

函数$f$的导数我们将其记作$f'$,其实他是另外一个函数,导数对定义域内任意自变量$x$的函数值为:$f'(x)=lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$,如果这个极限存在,那么我们就说函数$f$在$x$点处可微,而这个求导的过程就叫作微分。

当然,导数的定义式还有另一种等价的形式:

$f'(c)=lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}$

3.2.可微一定连续

这短短的定义式里,其实有很多坑等着我们,最主要的就是分析可微和连续之间的关系:

首先,可微性一定能够推出连续性,说具体点就是:如果函数的导数$f'(c)$存在,那么函数$f$在点$c$处就是连续的。这个概念我们简单推导一下,大家就能够明白了:

首先对函数$f(x)$做一个简单的基本变形:

$f(x)=f(c)+f(x)-f(c)=f(c)+\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\cdot (x-c)$,此时$x \neq c$

此时,$x\neq c$,对于上面的变形当然是成立的。那么,当$x\rightarrow c$时,即$x$不断逼近于$c$的时候,等式的左右两侧也是相等的,对应的就是两侧同时取极限:

$lim_{x\rightarrow c}f(x)=lim_{x\rightarrow c}[f(c)+\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\cdot (x-c)]$ $=lim_{x\rightarrow c}f(c)+lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\cdot lim_{x\rightarrow c}(x-c)$

仔细观察一下这个等式中的三部分,其中:

$f(c)$是一个与变量$x$取值无关的常数,因此$lim_{x\rightarrow c}f(c)=f(c)$。

而$lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}$就是导数$f'(c)$的定义式,而我们前面说了前提条件是导数$f'(c)$存在,因此$lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c} = f'(c)$

而最后一个很明显,$lim_{x\rightarrow c}(x-c)=0$

因此,最终就有:

$lim_{x\rightarrow c}f(x)=lim_{x\rightarrow c}f(c)+lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\cdot lim_{x\rightarrow c}(x-c)$ $=f(c)+f'(c)\cdot 0=f(c)$

我们只看一头一尾,即:$lim_{x\rightarrow c}f(x)=f(c)$,函数在$c$点处这不就连续了吗。

3.3.连续不一定可微

那反过来呢?很多地方最爱区分的概念就是连续一定可微吗?也就是说函数$f(x)$在$c$点处连续,那么导数$f'(c)$一定存在吗?答案是不一定,我们看几个简单的例子。

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