【python讲线代】S03E06 深入探讨矩阵的秩及python求取方法

0.本集概览

1.矩阵映射后的像空间维数 $dimImA$ 定义为矩阵的秩
2.秩的取值与单射、满射、双射的关系
3.矩阵变换时空间维度的变化规律
4.利用python求矩阵的秩

1.从映射的角度看,秩是什么?

今天这一集,我们主要讨论矩阵里的一个重要概念:。我们结合矩阵的映射来对其进行阐述,以 $m$ 行 $n$ 列的矩阵 $A$ 来举例:

$A=\begin{bmatrix} × & ×&×&×\\× &×&×&×\\ × & ×&×&×\end{bmatrix} $

那么秩是什么?我们把经矩阵映射后的像空间的维数 $dim Im A$ 定义为矩阵的秩 $rank A$。

那把这个定义运用到之前我们用过的维数定理里,就有:$dim KerA+RankA=n$ 。还是那么理解, $n$ 对应的是映射前,原始空间的维数,我们之前学习过核空间的维数 $dim KerA$ 就是被压缩的空间维数,而秩的定义是映射后像空间的维数。映射前的空间维数自然就等于映射后的空间维数+被压缩的维数,这个等式看上去是非常自然的。

2.秩与映射的关系

那么现在我们再想想,是不是有这么一个道理。

2.1.单射

如果 $dimKerA=0$ ,则意味着映射到原点 $o$ 的元素只包含一个点(即 $0$ 维),换句话说就是原空间中不会有多个点映射到目标空间中的一个点上。即,使得 $y=Ax$ 成立的 $x$ 是唯一的。此时 $rankA = n$ ,这在映射里叫单射

矩阵 $A$ 的秩与原空间的维数相同 $\Leftrightarrow $ 单射

2.2.满射

再看看,如果 $rankA=m$ ,即意味着像空间的维数和目标空间相等,即目标空间中所有的点都被映射到了,意味着 $y=Ax$ 不存在无解的情况,这在映射里也有个说法,叫满射

矩阵 A 的秩与目标空间的维数相同 $\Leftrightarrow$ 满射。

2.3.双射

那么我们再走近一步,所以有 $n=RankA=m$ ,那就满足从原空间映射出来空间不压缩,同时又能覆盖到整个目标空间,那就是我们所期盼的原空间到目标空间的一一对应的双射了,也就是矩阵可逆

2.4.秩与空间维度的不等式关系

我们通过这种直观的概念可以推断出下面两个不等关系式:

一来,矩阵 $A$ 把原空间里的点映射到目标空间中,形成像空间,那么像空间的维数肯定不可能超过目标空间: $rankA\leq m$

二来,像空间是从原空间中映射出去的,所谓最好的情况就是不压缩,那么像空间的维数也绝对是不会超过目标空间: $rankA\leq n$

我们最后演示一个映射的过程。对于满足矩阵相乘条件的两个矩阵 $A$ 和 $B$ 。首先,原空间 $U$ 在 $A$ 的作用下映射到空间 $V$ ,那么空间 $V$ 也就是我们映射得到的像空间,于是就有了 $dimV=rankA$ ,那么接下来 $V$ 的空间再在矩阵 $B$ 的作用下,继续映射到新的空间 $W$ ,那么最终的像空间 $W$ 的维数肯定不会超过原空间 $V$ 的维数。依据定义,像空间 $W$ 所对应的映射矩阵是 $(BA)$ 。

因此有不等式: $dimW<dimV\Leftrightarrow rank(BA)\leq rankA$

空间 $U$ 映射到空间 $V$,于是有 $dimV\leq dimU$ ,而 $W$ 是 $V$ 经过 $B$ 映射后的像空间, $rankB$ 是 $U$ 经过 $B$ 映射后的像空间维度,原空间的从属关系自然而然也就保留下去了 $dimW\leq rankB\Rightarrow rank(BA)\leq rankB$

2.5.总结:矩阵变换的维度变化规律

扯了这么多,我们到底想说啥?

一个是,一个空间经过矩阵的映射,他的像空间的维数绝对不会变大,经过可逆方阵变换可以保持其维数不变,如果像空间的维数变小,意味着对应的向量信息发生丢失。

另一个是,经过多个矩阵的映射,最终的像空间的维数不会超过任意一个经过单个矩阵映射的像空间。

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