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算术表达式

1 引言

  算术表达式是最常用的表达式,又称为数值表达式。它是通过算术运算符来进行运算的数学公式。表达式计算(expression evaluation)是程序设计语言编译中的一个最基本问题,也是早期计算机语言研究的一项重要成果,它使得高级语言程序员可以使用与数学形式相一致的方式书写表达式。

2 中缀表达式

  中缀表达式就是常见的运算表达式,如(3 + 4) × 5 - 6。中缀表达式在我们日常生活中应用最为广泛,也最符合人的计算思维。

3 前缀表达式

  前缀表达式又称波兰式,前缀表达式的运算符位于操作数之前。
  例如:中缀表达式(2+3)×4-5,采用前缀表达式为:- × + 2 3 4 5

前缀表达式运算:
  对前缀表达式进行从右至左依次扫描,当遇到数字时,将数字压入堆栈,遇到运算符时,弹出栈顶的两个数,用运算符对它们做相应的计算(栈顶元素 op 次顶元素),并将结果入栈;重复上述过程直到表达式最左端,最后运算得出的值即为表达式的结果

例如前缀表达式 : - × + 2 3 4 5
  从右至左扫描,将5、4、3、2压入堆栈;
  遇到+运算符,因此弹出2和3(2为栈顶元素,3为次顶元素,注意与后缀表达式做比较),计算出2 + 3的值,得5,再将5入栈;
  接下来是×运算符,因此弹出5和4,计算出5 × 4 = 20,将20入栈;
  最后是-运算符,计算出20-5的值,即15,由此得出最终计算结果。

中缀表达式转为前缀表达式:
转换步骤如下:
  (1)初始化两个栈:运算符栈s1,储存中间结果的栈s2;
  (2)从右至左扫描中缀表达式;
  (3)遇到操作数时,将其压入s2;
  (4)遇到运算符时,比较其与s1栈顶运算符的优先级
    a:如果s1为空,或栈顶运算符为右括号“)”,则直接将此运算符入栈;
    b:否则,若优先级比栈顶运算符的较高或相等,也将运算符压入s1;
    c:否则,将s1栈顶的运算符弹出并压入到s2中,再次转到(4-1)与s1中新的栈顶运算符相比较;
  (5)遇到括号时
    a:如果是右括号“)”,则直接压入s1;
    b:如果是左括号“(”,则依次弹出S1栈顶的运算符,并压入S2,直到遇到右括号为止,此时将这一对括号丢弃;
  (6)重复步骤(2)至(5),直到表达式的最左边;
  (7)将s1中剩余的运算符依次弹出并压入s2;
  (8)依次弹出s2中的元素并输出,结果即为中缀表达式对应的前缀表达式。

例如:中缀表达式1+((2+3)×4)-5转为前缀表达式具体过程,如下表

扫描到的元素 S2(栈底->栈顶) S1 (栈底->栈顶) 说明
5 5 数字,直接入栈
- 5 - s1为空,运算符直接入栈
) 5 -) 右括号直接入栈
4 5 4 -) 数字直接入栈
x 5 4 -)x s1栈顶是右括号,直接入栈
) 5 4 -)x) 右括号直接入栈
3 5 4 3 -)x) 数字
+ 5 4 3 -)x)+ s1栈顶是右括号,直接入栈
2 5 4 3 2 -)x)+ 数字
( 5 4 3 2 + -)x 左括号,弹出运算符直至遇到右括号
( 5 4 3 2 + x - 同上
+ 5 4 3 2 + x -+ 优先级与-相同,入栈
1 5 4 3 2 + x 1 -+ 数字
到达最左端 5 4 3 2 + x 1 + - s1剩余运算符

结果是: - + 1 × + 2 3 4 5

4 后缀表达式

  后缀表达式,又称逆波兰式,指的是不包含括号,运算符放在两个运算对象的后面,所有的计算按运算符出现的顺序,严格从左向右进行(不再考虑运算符的优先规则)。

后缀表达式计算:
  后缀表达式计算与前缀表达式类似,只是顺序是从左至右,具体过程如下:
  从左至右扫描表达式,遇到数字时,将数字压入堆栈,遇到运算符时,弹出栈顶的两个数,用运算符对它们做相应的计算(次顶元素 op 栈顶元素),并将结果入栈;重复上述过程直到表达式最右端,最后运算得出的值即为表达式的结果

例如:后缀表达式为“2 3 + 4 × 5 -”计算过程如下:
  (1)从左至右扫描,将2和3压入堆栈;
  (2)遇到+运算符,因此弹出3和2(3为栈顶元素,2为次顶元素,注意与前缀表达式做比较),计算出3+2的值,得5,再将5入栈;
  (3)将4入栈;
  (4)接下来是×运算符,因此弹出4和5,计算出4×5=20,将20入栈;
  (5)将5入栈;
  (6)最后是-运算符,计算出20-5的值,即15,由此得出最终结果。

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