【python讲线代】S03E04 矩阵的形态与逆映射存在性间的关系

0.本集概览

1.列数大于行数的“矮胖”矩阵压缩了空间,不存在逆映射
2.行数大于列数的“高瘦”矩阵无法完整覆盖目标空间,不存在逆映射
3.逆映射存在的前提条件是方阵
4.有些方阵也不存在逆映射

在上面一集中我们讲了,矩阵的本质是映射:用矩阵 $A$ 作用在向量 $x$ 上,其结果就是将其从原空间位置移动到 $y=Ax$ 所表示的另一个空间位置。那么如果已知结果 $y$ 的位置去反推 $x$ 的位置,就称为逆映射逆问题

那大家一定会问了,是不是所有的矩阵映射都存在逆映射呢?这是一个值得思索的问题。那么今天我们整个这一集,就专门分析这个问题。

1.“矮胖”矩阵(列>行)的映射是否有逆映射

1.1.逆映射不存在:映射压缩了空间

第一种情况是矩阵 $A$ 将向量 $x=\begin{bmatrix} x_{1},x_{2},...,x_{n}\end{bmatrix} ^{T}$ 映射到 $y=\begin{bmatrix}y_{1},y_{2},...,y_{m}\end{bmatrix} ^{T}$ ,其中 $n>m$ ,即映射的矩阵 $A_{m\times n}$ 是一个列数大于行数的矮胖矩阵。

我们举个实际的例子,比如 $x$ 是一个三维向量, 而 $y$ 是一个二维向量,则有 $y=Ax$ 映射表达式如下:

$ \begin{bmatrix} ×& ×&× \\ × &×&× \end{bmatrix} \begin{bmatrix} × \\ ×\\× \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} ×\\ ×\end{bmatrix}$ ,表明将一个三维空间中的三维向量映射到一个二维空间中,成为一个二维向量。

这种映射的本质是将 $x$ 所在的三维空间,映射到 $y$ 所在的二维空间,对应了压缩扁平化的操作,你仔细想想什么是压扁了这个概念,即有多个 $x$ 会被转移到同一个 $y$ 上,如下图所示:

这个图里揭示了一个显而易见的现象:已知映射后在目标二维空间中的点 $y$ ,想寻找原空间中的出发点 $x$ 在哪里?你是无法判断出的。在上图中我们可以看出,目标空间中画的那个点,其对应的原空间里的出发点 $x$ 是在一条直线上的,但是具体是哪一个?对不起,不知道。因为,在映射过程中空间被矩阵 $A$ 给压缩了,换句话说,一些信息在这个压缩映射的过程中丢失了,因此再也回不去了,矩阵 $A$ 所表示的映射是不存在逆映射的。

1.2.核空间的概念

我们介绍一个正式的概念,对于给定的矩阵 $A$ ,在映射的作用下,满足 $Ax=o$ 的 $x$ 的集合称为 $A$ 的核,即 $Ker A$,也称为 $0$ 空间,在上面的那幅图中,能映射到 $0$ 的是一条直线,因此 $Ker A$ 是一维的。因此,已知映射后的点的情况,是无法还原的。

而对比着看,如果一个矩阵 $A$ 存在着逆映射,则意味着其映射后的点是要能被唯一还原的,因此显然 $KerA$ 对应的不能是一维直线、二维平面,而只能是一个点,即具备逆映射的一个的矩阵,他的核空间必须是 $0$ 维的

2.“高瘦”矩阵(行>列)的映射是否有逆映射

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