【python讲线代】S03E08 用坐标变换的思想详解相似矩阵与相似变换

0.本集概览

1.基底不同,描述向量的坐标值就不同
2.基底不同,描述向量线性变换的矩阵也不同
3.相似矩阵与相似变换的基本概念
4.利用基底变换推导相似矩阵间的转换方法和关系式
5.相似变换的一大作用在于寻找矩阵的最佳相似矩阵:对角矩阵

1.向量的坐标值取决于基底的选取

1.1.基底不同,向量的坐标值就不同

在本集开篇,我们再次提及一个反复强调的核心概念:向量在空间中的位置是绝对的,而其坐标值却是相对的,坐标的取值依托于其所选取的基底。更直白的说就是,对于同一个向量,选取的基底不同,其所对应的坐标值就不同。我们用一个图再次回顾一下:

我们看到,图中的向量 $a$ ,他在空间中的位置是固定的,如果我们使用第一组基底 $(e_{1},e_{2})$, 即 $(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} ,\begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} ) $,向量 $a$ 表示为 $3\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} +3\begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$ ,那么在此基底下,向量 $a$ 的坐标为 $\begin{bmatrix} 3 \\ 3 \\ \end{bmatrix}$ 。

但是如果换一组基底呢,我们使用绿色的两个向量 $(e^{'}_{1},e^{'}_{2})$ 作为基底,这两个基向量在 $(e_{1},e_{2})$ 为基底的情况下其坐标分别为 $(\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ \end{bmatrix} ,\begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ \end{bmatrix} )$ ,那么向量 $a$ 在以 $(e^{'}_{1},e^{'}_{2})$ 为基底的情况下,则表示为 $1\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ \end{bmatrix} +1\begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ \end{bmatrix}$ ,其坐标即为 $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$ 。我们从图中也可以很清晰的看出里面的直观数量关系。

1.2.类比一个生活中的例子

用生活中的例子总结一下:东西还是那个东西没有变(向量在空间中的绝对位置),我们看待他的角度变了(选取的基底),那么看上去的效果就变了(坐标值),就好比有一个圆柱体,站的远则看得小,站的近则看得大,斜向下45°看上去还是一个立体,正上方往下看感觉就是一个圆形。

2.描述线性变换的矩阵也取决于基底

2.1. 基底不同,描述向量线性变换的矩阵也不同

静态的向量,我们选取的基底不同,用于表示静态向量的坐标值就不同。那对于动态的向量变换呢?如,向量从位置 $P$ 移动到位置 $Q$ ,我们知道可以用矩阵来表示向量空间位置的改变,如果我们选取的基底不同,同一个运动在不同基底下,显然对应的矩阵表示也是不同的。

我们还是用上面的向量举例

在这个二维空间 $R^{2}$ 中,向量从 $a$ 变换到 $a'$ 。在基底 $(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} ,\begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} )$ 的描述下,其坐标从 $\begin{bmatrix} 3 \\ 3 \\ \end{bmatrix} $ 变换到 $\begin{bmatrix} -3 \\ 6 \\ \end{bmatrix} $ ,对应于这个线性变换的矩阵为 $\begin{bmatrix} 1 &-2 \\1 &1 \end{bmatrix} $ 。但是如果是在基底 $(\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ \end{bmatrix} ,\begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ \end{bmatrix} )$ 的描述下,其坐标的转换变成了 $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \Rightarrow\begin{bmatrix}-4 \\ 5 \\ \end{bmatrix}$ (计算过程可以参考上一段),显然前一个基底下的变换矩阵 $\begin{bmatrix} 1 &-2 \\1 &1 \end{bmatrix}$ 就无法表示这个基底下的变换了,因为我们计算发现 $\begin{bmatrix} 1 &-2 \\1 &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\1 \end{bmatrix} \ne \begin{bmatrix} -4\\5 \end{bmatrix} $ 。

2.2.类比一个生活中的小例子

我们通过这个实例就发现了,对于同一个向量的空间位置改变,由于我们所选取的基底不同,因此表征其线性变换的矩阵就不同

再举一个生活中的例子,一辆车从 $A$ 点向 $B$ 点开,我面向车尾站立,在我看来,车是离我远去的,越来越远,而如果你面向车头站立,在你看来,车是越来越近的。车还是那辆车,还是那么开,只是你我站的位置不同,视角不同,感受到的运动状态就是不同的

2.3.相似矩阵和相似变换的概念

针对指定向量的同一个空间变换,用来在不同基底下进行描述的不同矩阵,彼此之间称之为相似矩阵。相似矩阵所表示的线性变换,彼此之间称之为相似变换

3.相似矩阵间的转换方法

我们来推导一下上面的过程

3.1.利用基底变换推导相似矩阵间的关系等式

在基底 $(e_{1},e_{2})$ 下,坐标为 $x$ 的向量通过矩阵 $A$ 完成了线性变换,线性变换后的坐标为 $x^{'}$ ,我们也可以通过矩阵 $P$ ,将向量变换到基底 $(e^{'}_{1},e^{'}_{2})$ 下的坐标表示,即用新的基底下的坐标来表示向量,记作 $Px$ 。这时在新的基底下,用来表示我们上面同一个空间变换的是另一个矩阵 $B$ ,即基底 $(e^{'}_{1},e^{'}_{2})$ 下变换后的目标坐标为 $BPx$ ,最终我们还是需要在原基底坐标系下讨论和比较问题,因此我们再次把坐标从基底 $(e^{'}_{1},e^{'}_{2})$ 变回到 $(e_{1},e_{2})$ 下,这显然是一个逆变换,即左乘一个逆矩阵 $P^{-1}$ ,因此和最初直接用矩阵 $A$ 变换殊途同归。

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