【python讲线代】S03E05 逆矩阵存在的条件及python求取方法

0.本集概览

1.空间压缩映射的矩阵特征是其列向量线性相关
2.本质原因是原基底映射后张成空间的降维
3.一个方阵其逆矩阵存在的条件
4.用python求解一个方阵的逆矩阵

在上一集里,我们图文并茂的举了好些个例子,告诉了我们逆矩阵存在的条件首先得是方阵,其次又举例说明了,不一定所有的方阵都存在逆矩阵。最终留下了一个问题,那就是,如果是方阵,如何判定其是否存在逆映射和逆矩阵呢?

那么这一集,我们来探索一下逆矩阵存在的条件。

1.空间压缩映射的矩阵特征

1.1.现象观察:矩阵列向量间线性相关

回顾上一集里我们最后举的那个例子,就是在一个方阵 $A=\begin{bmatrix} 2 & -4\\ 1 &-2 \end{bmatrix}$ 的映射作用下,一个平面空间被压缩扁平化成了一条直线。物理意义便是:把原空间中不同的向量 $x$ 和 $x^{'}$ 通过矩阵 $A$ 映射到目标空间中相同的目标向量 $y$ 。

我们用数学语言来描述这个过程就是: $x=\begin{bmatrix} x_{1},x_{2},...,x_{n}\end{bmatrix} ^{T}$ , $x^{'}=\begin{bmatrix} x_{1}^{'},x_{2}^{'},...,x_{n}^{'}\end{bmatrix} ^{T}$ , $A=\begin{bmatrix} a_{1},a_{2},...,a_{n}\end{bmatrix}$ ,其中 $a_{i}$ 是列向量。

那么就有:$Ax=Ax^{'}$ ,展开来看就是:

$\begin{bmatrix} a_{1},a_{2},...,a_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ .\\.\\ .\\x_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{1},a_{2},...,a_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{1} ^{'}\\ x_{2} ^{'}\\ .\\.\\ .\\x_{3} ^{'} \end{bmatrix}$

我们利用矩阵乘法的法则进一步进行展开,发现:

$x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+...+x_{n}a_{n}=x_{1}^{'}a_{1}+x_{2}^{'}a_{2}+...+x_{n}^{'}a_{n} $
$\Downarrow$
$(x_{1}-x_{1}^{'})a_{1}+(x_{2}-x_{2}^{'})a_{2}+...+(x_{n}-x_{n}^{'})a_{n}=o$
$\Downarrow$
$u_{1}a_{1}+u_{2}a_{2}+...+u_{n}a_{n}=o$

我们发现,我们之前定义了 $x$ 和 $x^{'}$ 是不同的向量,即 $x$ 和 $x^{'}$ 的各坐标不全相等,换句话说就是 $\begin{bmatrix} u_{1},u_{2},...,u_{n} \end{bmatrix} \ne o$ , 此时仍然可以使得等式成立。于是很简单的有了下面的式子:

$u_{1}a_{1}=-u_{2}a_{2}-...-u_{n}a_{n}$

$a_{1}=r_{2}a_{2}+...+r_{n}a_{n}$

我们似乎越来越清晰了,这时矩阵 $A$ 的列向量 $a_{1}$ 是可以用 $a_{2}...a_{n}$ 的线性组合来表示的,换句话说 $a_{1}$ 存在于 $a_{2}...a_{n}$ 这一组向量所张成的 $n-1$ 维空间里。

1.2.本质原因:原基底映射后张成空间降维

进一步回忆我们之前所讲的,矩阵与向量的乘法本质上是一种映射,矩阵 $A$ 的各列向量 $\begin{bmatrix} a_{1},a_{2},...,a_{n} \end{bmatrix}$ 就是原向量 $x$ 的 $n$ 个基向量 $e_{1}=\begin{bmatrix} 1,0,...,0 \end{bmatrix} ^{T} , e_{2}=\begin{bmatrix} 0,1,...,0 \end{bmatrix} ^{T} , e_{n}=\begin{bmatrix} 0,0,...,n \end{bmatrix} ^{T}$ 的最终映射目标。

你想想,原来的 $n$ 个基向量经过映射后形成的 $n$ 个目标向量里,某一个组成向量可以用其他 $n-1$ 个向量进行组合和表示,那么这 $n$ 个 目标“基”向量本质上只能表示 $n-1$ 维的空间了(其实这 $n$ 个目标向量已经不具备构成基底的条件了),这不正应着一句话:经过矩阵 $A$ 的映射,构成 $n$ 维空间的基底被映射成了仅能构成 $n-1$ 维空间的基底,所能表示的不就因此被压缩扁平化了吗?

我们总结一下:在映射方阵 $A$ 中,如果某个列向量 $a_{i}$ 可以写成其他列向量的线性组合,即 $a_{i}=r_{1}a_{1}+...+r_{n}a_{n}$,那么对应的矩阵映射一定是空间压缩的映射,一定不存在逆矩阵。

2.逆矩阵存在的条件

综上,方阵 $A$ 的列向量线性相关,对应映射时的空间压缩。反过来,当且仅当 $u_{1}=u_{2}=...u_{n}=0$ 时, $u_{1}a_{1}+u_{2}a_{2}+...+u_{n}a_{n}=o$ 才能成立,则称 $A$ 的各个列向量线性无关,映射时空间不会压缩,有逆矩阵存在。

最后我们一览众山小的总结一下逆矩阵存在的条件:

首先很简单,必须先得是一个方阵,否则目标空间中的向量要么对应多个原空间中的向量,要么找不到原空间中的向量,换句话说 $y=Ax$ 中对应原空间的点 $x$ 的存在性和唯一性至少有一个被破坏了。

在矩阵 $A$ 是 $n$ 阶方阵的前提下,以下条件与可逆性等价:

方阵 $A$ 表示的映射不是压缩扁平化的,这是一个几何概念,翻译成数学语言就是下面的互相等价的几个条件:

1.方阵 $A$ 表示的映射是单射(或表示的映射是满射)
2.$dimKerA=0$ 或 $dimImgA=n$
3.列向量 $a_{1},a_{2},a_{3}, ... ,a_{n}$ 线性无关

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