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动态规划

1 概念

  动态规划算法是通过拆分问题,定义问题状态和状态之间的关系,使得问题能够以递推(或者说分治)的方式去解决。在学习动态规划之前需要明确掌握几个重要概念。

  阶段:对于一个完整的问题过程,适当的切分为若干个相互联系的子问题,每次在求解一个子问题,则对应一个阶段,整个问题的求解转化为按照阶段次序去求解。

  状态:状态表示每个阶段开始时所处的客观条件,即在求解子问题时的已知条件。状态描述了研究的问题过程中的状况。

  决策:决策表示当求解过程处于某一阶段的某一状态时,可以根据当前条件作出不同的选择,从而确定下一个阶段的状态,这种选择称为决策。

  策略:由所有阶段的决策组成的决策序列称为全过程策略,简称策略。

  最优策略:在所有的策略中,找到代价最小,性能最优的策略,此策略称为最优策略。

  状态转移方程:状态转移方程是确定两个相邻阶段状态的演变过程,描述了状态之间是如何演变的。

2 使用场景

能采用动态规划求解的问题的一般要具有3个性质:

  (1)最优化:如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的,就称该问题具有最优子结构,即满足最优化原理。子问题的局部最优将导致整个问题的全局最优。换句话说,就是问题的一个最优解中一定包含子问题的一个最优解。

  (2)无后效性:即某阶段状态一旦确定,就不受这个状态以后决策的影响。也就是说,某状态以后的过程不会影响以前的状态,只与当前状态有关,与其他阶段的状态无关,特别是与未发生的阶段的状态无关。

   (3)重叠子问题:即子问题之间是不独立的,一个子问题在下一阶段决策中可能被多次使用到。(该性质并不是动态规划适用的必要条件,但是如果没有这条性质,动态规划算法同其他算法相比就不具备优势)

3 算法流程

  (1)划分阶段:按照问题的时间或者空间特征将问题划分为若干个阶段。
  (2)确定状态以及状态变量:将问题的不同阶段时期的不同状态描述出来。
  (3)确定决策并写出状态转移方程:根据相邻两个阶段的各个状态之间的关系确定决策。
  (4)寻找边界条件:一般而言,状态转移方程是递推式,必须有一个递推的边界条件。
  (5)设计程序,解决问题

4 0/1背包问题

问题描述:
  若有编号为a、b、c、d、e五件物品,重量分别为2,2,6,5,4,对应的价值分别为6,3,5,4,6。现有容积为10的背包,如何选择物品使得背包中物品价值最大?注:物品不可以部分装入,只能选择全部装入或者不装入背包。

问题分析:
  (1)划分阶段:每次选择一个物品放入背包,则可以依据背包中物品的个数划分出不同阶段。
  (2)确定状态以及状态变量:f[i][j]表示前i件物品放入重量为j的背包中,可以获得的最大价值。
  (3)决策:为使背包中物品总价值最大,物品i是否应该放入背包?
  (4)状态转移方程:f[i][j] = Max{f[i-1][j], f[i-1][j-wi] + pi(j-wi > 0)};
其中,wi为第i件物品重量,pi为第i件物品的价值。

解题思想:
  根据f[i][j]的形式可以创建二维数组,数组行表示所考虑的物品个数,即阶段。数组的列表示背包的重量,即每一阶段的状态。则可以创建二维数组如下:

  计算f[i][j]时,需要比较f[i-1][j]表示第i个物品不加入背包,另一个是f[i-1][j-wi] + pi,表示第i个物品加入背包。去二者之间的最大值作为f[i][j]。

编程实现:

```

include

include

int f[200][200];//前i个物品装入容量为j的背包中获得的最大价值
int max(int a, int b)
{
if (a >= b)
return a;
else return b;
}

int KnapSack(int n, int w[], int f[], int x[], int C)
{
int i, j;
//初始化
for (i = 0; i <= n; i++)
f[i][0] = 0;
for (j = 0; j <= C; j++)
f[0][j] = 0;

for (i = 0; i < n; i++){
    for (j = 0; j < C+1; j++){
        if (j < w[i])
            f[i][j] = f[i - 1][j];
        else
            f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - w[i]] + f[i]);
    }
}
j = C;
for (i = n - 1; i >= 0; i--)
{
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