如何判断一个多边形是否合法

利用无人机对一片区域进行测绘前,我们会先在地图上框选一个区域,然后再规划飞行的路线,而需要测绘的这片区域往往是一个多边形。在 Mesh iOS 即将推出的新版本中,我们加入了多边形区域的编辑功能,其中就涉及判断用户所编辑出来的多边形是否合法的问题。

首先我们要确定一个标准:怎么样才算一个不合法的多边形 ?我们可以简单地通过下面这幅图来解释一下:

我们可以看出前面两个分别是凹多边形和凸多边形,而最后一张则是我们所说的不合法多边形,可以看出这个不合法的多边形的特征就是:它存在某条边与另外一条边相交的情况

那么要判断一个多边形是否合法,我们只要判断组成多边形的所有线段是否存在相交的情况即可,当然,我们这里所说的相交是 规范相交 ,即 交点不在线段的端点上

好了,那么现在的问题可以简化成:如何判断两条线段是否规范相交

这里我们需要借助 向量的叉积 来进行判断。

叉积,又称向量积,是对三维空间中的两个向量的二元运算。

这里推荐 3Blue1Brown 的 视频 来快速回顾一下叉积的概念(下面的两幅截图来自此视频)。我们只需知道叉积的结果是有正负的,比如我们以向量 $\vec{v}$ 为标准,如下图,向量 $\vec{w}$ 在 $\vec{v}$ 的 顺时针方向,那么 $\vec{v} \times \vec{w} < 0$ :


$$\vec{v} \times \vec{w} < 0$$

如果向量 $\vec{w}$ 在 $\vec{v}$ 的 逆时针方向,那么 $\vec{v} \times \vec{w} > 0$ :


$$\vec{v} \times \vec{w} > 0$$

那么我们如何利用叉积的特性运用到判断线段是否相交上呢?

我们先看下面最直接的一个线段相交的情况:

线段 $P_1P_2$ 和 线段 $Q_1Q_2$ 明显存在一个交点,从上面这张图我们可以做一个简单的结论:如果一条的线段的两个端点在另外一条线段两侧,那么这两条线段可能相交,注意这里说的是可能相交,稍后会讲到另外一种情况。

我们可以将上面的图转换为向量的情况来看:

是不是觉得似曾相识,这跟上面提到的叉积的情况是不是很类似?
向量 $\vec{P_1Q_1}$ 在 $\vec{P_1P_2}$ 的逆时针方向,那么:$\vec{P_1P_2} \times \vec{P_1Q_1} > 0$
向量 $\vec{P_1Q_2}$ 在 $\vec{P_1P_2}$ 的顺时针方向,那么:$\vec{P_1P_2} \times \vec{P_1Q_2} < 0$

用 A 表示 $\vec{P_1P_2} \times \vec{P_1Q_1} $ 的叉积结果,用 B 表示 $\vec{P_1P_2} \times \vec{P_1Q_2}$ 的叉积结果,那么 一条的线段的两个端点在另外一条线段两侧 这个几何现象可以用这个公式表示 :A*B < 0

我们前面提到 如果一条的线段的两个端点在另外一条线段两侧,那么这两条线段可能相交 ,为什么是可能相交呢?如果我们将 线段 $Q_1Q_2$ 往右边移动一下,会存在下面这种情况:

从上图可以看出,线段 $Q_1Q_2$ 的两个端点在线段 $P_1P_2$ 两侧,但是它们并没有相交。

那么如何排除这种情况呢?其实很简单,我们之前都是以线段 $P_1P_2$ 作为主视角,如果将主视角换成线段 $Q_1Q_2$,那么我们很容易看出 线段 $P_1P_2$ 的两个端点并没有在 线段 $Q_1Q_2$ 的两侧。所以我们再次看回上面相交的那幅图,为了能够充分的判断两条线段相交,这次以 $Q_1Q_2$ 为主视角看待这个问题,求叉积:

向量 $\vec{Q_1P_2}$ 在 $\vec{Q_1Q_2}$ 的逆时针方向,那么:$\vec{Q_1Q_2} \times \vec{Q_1P_2} > 0$
向量 $\vec{Q_1P_1}$ 在 $\vec{Q_1Q_2}$ 的顺时针方向,那么:$\vec{Q_1Q_2} \times \vec{Q_1P_1} < 0$

综上,我们可以得出:
A = $\vec{P_1P_2} \times \vec{P_1Q_1} $
B = $\vec{P_1P_2} \times \vec{P_1Q_2} $
C = $\vec{Q_1Q_2} \times \vec{Q_1P_1} $
D = $\vec{Q_1Q_2} \times \vec{Q_1P_2} $
当 A * B < 0 && C * D < 0 的时候,两条线段规范相交。
至于向量的叉积如何运算,这里就不细写了,给出一张计算草稿给大家过目一下:

根据计算草稿的内容,我们就很容易通过代码来实现了:

private func isIntersect(line1: (CGPoint, CGPoint), line2: (CGPoint, CGPoint)) -> Bool {
        let p1 = line1.0
        let p2 = line1.1
        let q1 = line2.0
        let q2 = line2.1

        let a1 = (p2.x - p1.x) * (q1.y - p1.y) - (q1.x - p1.x) * (p2.y - p1.y)
        let a2 = (p2.x - p1.x) * (q2.y - p1.y) - (q2.x - p1.x) * (p2.y - p1.y)

        let b1 = (q2.x - q1.x) * (p1.y - q1.y) - (p1.x - q1.x) * (q2.y - q1.y)
        let b2 = (q2.x - q1.x) * (p2.y - q1.y) - (p2.x - q1.x) * (q2.y - q1.y)

        if a1 * a2 < 0 && b1 * b2 < 0 {
            return true
        }
        return false
}

由于笔者能力有限,文中如有错误还请各位读者不吝赐教。

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2条评论

就是常说的“跨立实验”吧,a b两点在线段cd的两端,c d两点在线段ab的两端。网上还说,前面加个“快速排斥”可以加快运算,点多的话据说挺有效的,我以前测试过四边形,只有 4 个点感觉不明显。

汉森
#2

#1楼 @史前图腾 对对,快速排斥作为前置判断的确计算量会少点,但是我觉得在当前业务场景下直接利用跨立实验就可以了。

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