【python讲线代】S03E09 矩阵对角化的构造方法详解

0.本集概览

1.构造对角化的转换矩阵 $P$ 的思路
2.特征向量和特征值的定义和空间几何内涵
3.用基变换的方法再次推导对角化的过程

1.构造对角化的转换矩阵 $P$ 的思路

今天我们来讨论上一集末尾遗留的那个问题:即,使得 $P^{-1}AP$ 成为一个相似对角矩阵,转换矩阵 $P$ 给如何构造?很简单,我们直接从这个式子入手:

首先,矩阵 $P$ 和 $A$ 一样,均为 $n$ 阶方阵,因此为了方便分析,我们把他写成一组列向量排列的形式 $P=\begin{bmatrix} p_{1}&p_{2}&...&p_{n} \end{bmatrix}$ ,即 $n$ 个 $n$ 维列向量的横向排列形式。
$P^{-1}AP=\Lambda$ ,两边同时左乘矩阵 $P$ ,则有: $AP=P\Lambda$ ,展开:

$A\begin{bmatrix} p_{1},p_{2},...,p_{n} \end{bmatrix}$ $= \begin{bmatrix} p_{1},p_{2},...,p_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_{1} & && \\ &\lambda_{2} & &\\&&.&\\ & &&\lambda_{n}\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} Ap_{1},Ap_{2},...,Ap_{n} \end{bmatrix}$ $=\begin{bmatrix} \lambda_{1}p_{1},\lambda_{2}p_{2},...,\lambda_{n}p_{n} \end{bmatrix} $

看到这里,就豁然开朗了,为了上面这个等式能成立,只需让向量在每个维度上分别相等即可:即, $Ap_{1}=\lambda_{1}p_{1}$ , $Ap_{2}=\lambda_{2}p_{2}$ , ... , $Ap_{n}=\lambda_{n}p_{n}$ 。

问题就转化成了:找到满足上述等式的这一组向量 $p_{1},p_{2},...,p_{n}$ ,将其横向排列,就构成了我们苦心寻找的转换矩阵 $P=\begin{bmatrix} p_{1}&p_{2}&...&p_{n} \end{bmatrix}$ ,将分别与之对应的值 $\lambda_{1},\lambda_{2},...\lambda_{n}$ 依序沿着对角线排列,就构成了与矩阵 $A$ 相似的对角矩阵

$\Lambda=\begin{bmatrix} \lambda_{1} & && \\ &\lambda_{2} && \\&&.&\\&& &\lambda_{n}\end{bmatrix}$ 。

2.引入特征向量和特征值

2.1.基本定义

满足等式 $Ap=\lambda p,p\ne o$ 的列向量 $p_{i}$ 和对应的值 $\lambda_{i}$ 都属于方阵 $A$ 的固有属性,分别称之为方阵的特征向量特征值。

我们从 $Ap=\lambda p,p\ne o$ 这个式子中得到以下很明显的重要的结论:

1、矩阵 A 的特征向量 $p$ 和对应特征值 $\lambda$ 的几何意义是,在方阵 $A$ 的变换作用下,特征向量 $p$ 的线性变换就是在其向量方向上进行 $\lambda$ 倍的伸缩变换。

2、特征向量彼此线性无关,换句话说其所构成的相似转换矩阵 $P$ 是可逆的。

2.2.特征向量和特征值在空间转换时的几何意义

对于一个向量 $v$ ,使用默认基底 $(e_{1},e_{2},...,e_{n})$ 表示为 $x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+...x_{n}e_{n}$,使用方阵 $A$ 对其进行线性变换,此时我们对向量 $v$ 更换基底,采用方阵 $A$ 的一组特征向量 $(p_{1},p_{2},...,p_{n})$ 作为其新的基底,则向量 $v$ 表示为 $y_{1}p_{1}+y_{2}p_{2}+...+y_{n}p_{n}$,其新的坐标为 $\begin{bmatrix} y_{1}&y_{2}&...&y_{n} \end{bmatrix} ^{T}$ ,在方阵 $A$ 的作用下:
$Av=A(x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+...x_{n}e_{n})$$=A( y_{1}p_{1}+y_{2}p_{2}+...+y_{n}p_{n})$

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